Месяц: Октябрь 2023

Թեմա՝ Զուգահեռագիծ

1. Զուգահեռագծի անկյուններկց մեկը  55° է: Գտիր զուգահեռագծի մյուս անկյունները:

55, 55, 125, 125

2. Զուգահեռագծի մի կողմը 29 սմ է, իսկ մյուս կողմը 7 սմ-ով մեծ է նրանից: Գտիր զուգահեռագծի պարագիծը:

29+7=36

29×2=58

36×2=72

72+58=130

3. Զուգահեռագծի կողմերը 10 և 15 են։ Գտիր Զուգահեռագծի պարագիծը:

10×2=20

15×2=30

30+20=50

4. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը մյուսից մեծ է 30 աստիճանով։ Գտիր զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

180-30=150

150:2=75

75+30=105

5. ABCD զուգահեռագծի մեջ օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։ AOD եռանկյան պարագիծը հավասար է 25սմ, AC=16սմ, BD=14 սմ։ Գտի՛ր  BC-ն։

10

6. ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է։ Ապացուցեք, որ եռանկյուն ABC հավասար է եռանկյուն ACD-ին։

Եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշ։
AB = DC
BC = AD
AC = AC

7. ABCD զուգահեռագծի А անկյունը  2  անգամ փոքր է B անկյունից։ Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

60, 60, 120, 120

8.ABCD զուգահեռագծի մեջ օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։  Գտեք BO և ОC-ն, եթե BD=12, AC=17:

BO = 6
OC = 8.5

9. ABCD զուգահեռագծի  A անկյան  կիսորդը  BC հատվածում հատում է k կետում  և տրոհում է  15 սմ  և 9սմ  հատվածների ։Գտի՛ր զուգահեռագծի պարագիծը ։

10. Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100 աստիճան է:

50, 50, 130, 130

Օրվա աշխատանքը։
Կրկնողություն
1. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) a^2-b^2
բ)25+p^2
գ)x^2-9
դ)4a^2-9
ե)1-m^2
զ)16-9y

2. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) m^2+n^2
բ) 4+x^2
գ) 4+9a^2
դ) 1+p^2
ե) 4x^2+1
զ) 1+p^2
ե) 4+9a^2
է) 9m^2+10n^2
ը) 9x^2+16y^2

3. Լուծիր գծային հավասարումների համակարգը

ա) {x=3
{x+y-4=0

Աշխատում ենք ինքնուրույն

1.Կազմիր մեկ անհայտով գծային հավասարում։ Նշիր անհայտի գործակիցը, այնուհետև փորձիր  լուծել։
Տես օրինակը՝
2x+5=35
Անհայտի գործակիցն է՝ 2
Լուծումը կլինի՝
2x=35-5
2x=30
x=15
5x-10=40
5x=40-10
5x=30
x=7

2. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Նշիր x-ի, y-ի գործակիցները, ազատ անդամը։
Տես օրինակը՝
3x+45y-21=0
x-ի գործակիցը՝ 3
y-ի գործակիցը՝ 45
Ազատ անդամը՝ -21
7x+20y-60=0
x-ի գործակիցը՝ 7
y-ի գործակիցը՝ 20
Ազատ անդամը՝ -60

3. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Հավասարման համար գտիր երկու տարբեր լուծումներ։
Տես օրինակը՝
x+y=30
Առաջին լուծումը՝ x=14; y=16
Երկրորդ լուծումը՝ x=13; y=17
x+y=29
Առաջին լուծումը՝ x=14; y=15
Երկրորդ լուծումը՝ x=13; y=16

4. Կազմիր առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում այնպես, որ լուծումը լինի այս թվազույգը՝ (4, 5):
Տես օրինակը՝ 4x+5y-41=0

              

5. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնուհետև x-ը արտահայտիր y-ով։  Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնուհետև y-ը արտահայտիր x-ով։

Տես օրինակը՝
x+7y=48
x=48-7y
Հաջորդ օրինակը՝
y+2x-21=0
y=21-2x

x+4y-20=43
4y=43+20-x

6. Ցույց տուր, որ  (1; 2)  թվազույգը համակարգի համար լուծում է.
{x+y-3=0
{x-y+1=0
2x = 2
x = 1
y = 3 — 1
y = 2
(1; 2)

7. Lուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով.
{x-5y=0
{7y+x=36
x = 5y
12y = 36
y = 3
x = 15
(3; 15)

8. Lուծիր համակարգը գումարման եղանակով.
{x+y=28
{x-y=22
x+y+x-y=50
2y=50
y=25
x=28-25
x=3
(3; 25)

9.Lուծիր համակարգը հանման եղանակով.
{7x-y=0
{3x-y=40
4x=-40
x=-10
y=40+30
y=70
(-10; 70)

10.Lուծիր համակարգը գործակիցները հավասարեցման եղանակով։{2x+3y=80
{3x+2y=70
5y = 100
y = 20
6x = 140 — 80
6x = 60
x = 10
(10; 20)

1.Լուծել հավասարումների համակարգերը տեղադրման եղանակով․

ա) {3x+y=7 
{5x+y=13
y=7-3x
5x+7-3x=13
5x-3x=13-7
2x=6
x=3
y=7-3×3
y=-9
(3;-9)

բ) {2x+y=12
    {7x+y=37
y=12-2x
7x+12-2x=37
7x-2x=37-12
5x=25
x=5
y=12-2×5
y=2
(5;2)

2. Լուծել հավասարումների համակարգերը գումարման եղանակով․

ա){x+y=9
  {-x+y=3
x+y+(-x+y)=12
2y=12
y=6
x=6+9
x=15
(15;6)

բ) {2x+11y=15
    {10x-11y=9
2x+11y+10x-11y=24
12x=24
x=2
y=4+15
y=19
(2;19)

3. Լուծել հավասարումների համակարգերը քեզ հարմար եղանակով․

ա) {7x+y=82
      {y-2x=1

բ) {8y+2x=60
    {2x-21y=2

Լուծիր խնդիրները նախապես կազմելով երկու անհայտով երկու հավասարումների  համակարգ։

4. Մի թիվը 7-ով մեծ է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը՝ 6 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 51։
Գտեք այդ թվերը։

{x-y=7
{x=7+y
2y+3x=51
2y + 3x(7+y)=51
2y+21+3y=51
2y+3y=5y
5y=51-21
5y=30
30:5y=6
y=6
6+7+y=6+7=13
x=13
(13;6)

 5.  Մի թիվը 10-ով փոքր է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 3 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 70։ Գտեք այդ թվերը։

{x-y=10         
{3x+y=70
x=10+y
3(10+y)+y=70
30+3y+y=70
4y+30=70
4y=70-30
4y=40
y=10
x=10+10
x=20
(20;10)

6.  Երկու թվերի գումարը 21 է, իսկ տարբերությունը՝ 9։ Գտեք այդ թվերը։

{x+y=21
{x-y=9
x = 9+y
9+y+y = 21
9+2y = 21
2y = 21-9
2y = 12
y = 6
x = 9+6
x = 15:

7. Մի թիվը 6-ով մեծ է մյուսից։ Այդ թվերի գումարը հավասար է 40-ի։ Գտեք այդ թվերը։ 8. Մի թիվը 15-ով փոքր է մյուսից։ Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 23 է։

{x =y+6
{x+y=40
y+6+y=40
2y+6 = 40
2y = 34
y = 34/2
y = 17
x = 17+6
x = 23

Լուծիր հավասարումների համակարգը քեզ հարմար եղանակով․
1.Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{x+2y-3=0
{x+y+1=0
x+2y- x-y-1= 0
y=1
x+1+1=0
x+2=0
x=-2
(-2;1)

2. Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{x-3y+3=0
{x+y-1=0
x-3y+3-x-y+1=0
-4y+4=0
-4y=-4
y=1
x+1-1=0
x=0
(0;1)

3.Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{4x+y-2=0
{3x+y+3=0
4x+y-2-3x-y-3=0
x-5=0
x=5
15+y+3=0
y=-18
(5;-18)


4.Հուշում․ Երկրորդ հավասարումից հանիր առաջին հավասարումը։
{x-y-7=0
{3x-y+1=0
3x-y+1-x+y+7=0
2x=-8
x=-4
-4-y-7=0
y=11
(-4;11)

5.Հուշում․ Հավասարումների համապատասխանաբար աջ և ձախ կողմերը իրար գումարիր։
{x+3y-1=0
{-x+4y+8=0
x+3y-1-x+4y+8=0
7y+7=0
y=-1
x-3-1=0
x=4
(4;-1)


6.Հուշում․ Հավասարումների համապատասխանաբար աջ և ձախ կողմերը իրար գումարիր։
{x-2y+3=0
{-x+3y-2=0


Լուծիր խնդիրները նախապես կազմելով երկու անհայտով երկու հավասարումների համակարգ։
7.
Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից։ Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 48։ Գտեք այդ թվերը։
{x = 2y
{4y + 2x = 48
(12 ; 6)

8.
Մի թիվը 3 անգամ փոքր է մյուսից։ Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 45։ Գտեք այդ թվերը։
{x = 3y
{2y + y= 45
(27 ; 9)

Համակարգը լուծելու երկրորդ եղանակ․ Գործակիցները հավասերացման կամ գումարման եղանակ։

Առաջադրանքներ։
Լուծիր համակարգը գործակիցները հավասարեցման եղանակով։
1.
{ 4x+10y=22|3
{3x+7y=10|4
{12x+30y=66
{12x+28y=40
{12x+30y-12y-28y=26
2y=26
y=13
4x+130=22
4x=22-130
4x=-108
x=-27
(13;-27)


2.
{6x-2y=6|5
{5x-y=7|6
{30x-10y=30
{30x-6y=42
30x-10y-30x+6y=-12
-4y=-12
y=3
5x-3=7
5x=10
x=2
(2;3)



3.
{2x+5y=15|2    
{3x+2y=6|5
{4x+10y=30
{15x+10y=30
4x+10y-15x-10y=0
-11x=0
x=0
0+2y=6
2y=6
y=3
(0;3)

4.
{2x+4y=6|1
{3x-2y=25|2
{2x+4y=6
{6x-4y=50
2x+4y-6x-4y=-44
4x=-44
x=11
22+4y=6
4y=-16
y=-4
(11;-4)

5.
{x+2y=3
{2x-3y=-8

Լուծիր խնդիրները։
6.Գինեգործը իր ունեցած 420 դույլ գինուց վաճառեց 6 անգամ ավելի շատ դույլ գինի, քան իր մոտ մնաց։ Նա որքա՞ն դրամ վաստակեց, եթե յուրաքանչյուր 5 դույլ գինին վաճառեց 2500 դրամով։
6x + x = 420դույլ գինի
7x = 420 դույլ գինի
x = 60 դույլ գինի
6x = 360 դույլ գիգնի
360 : 5 = 72 հնգյակ
72 * 2500 = 180 000 դրամ

7. Դարակում կա 100-ից ոչ շատ գիրք։ Քանի՞ գիրք կա դարակում, եթե այդ գրքերով կարող ենք պատրաստել և՛ երեքական, և՛ չորսական, և՛ հնգակական կապոցներ։
60

8. Քանի՞ ութանիշ թիվ կա, որի թվանշանների գումարը 2 է։
8

9. Կովը մի խուրձ խոտը  ուտում է 5 ժամում, ձին ուտում է 10 ժամում, իսկ էշը՝ 30 ժամում։ Մեկ խուրձ խոտը միասին քանի՞ ժամում կուտեն։
3ժ

Համակարգը լուծելու տեղադրման եղանակը։
Լուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով․
1.

{y+2x=7
{3x+y=11

y = 7 — 2x

3x + y = 11

3x + (7 — 2x) = 11

7 — 2x + 3x = 11

7 + x = 11

x = 11 — 7

x = 4

(4; -1)

2.
{2x+y-1=0
{y+5x-16=0

(5; -9)

3.
{3x-4y=100
{x-8y=0

(40; 5)

4.

{x+2y-14=0
{x+3y-7=0

(28; -7)

5.

{x-y=2
{x+y=6

(4; 2)

6.
{x+4y-2=0
{10y+x=14
(-6; 2)

7.
{3x-2y=88
{x=8y

(32; 4)

8.
{x-2y=3
{x+3y=25

(13.4; 4.4)

Խնդիրներ ֆլեշմոբից։
9. Աննա ​​ջնջելով  2312 թվից 3 թվանշանը ստացավ 212 թիվը: Քանի՞ քառանիշ թվից կարող է ջնջել մեկ թվանշան, որ արդյունքում ստացվի 212 թիվը:

39

10. Գնացքը կազմված է 11 ոչ միատեսակ վագոններից, որոնց ընդհանուր նստատեղերի քանակը 381 է։ Հայտնի է, որ յուրաքանչյուր երեք հաջորդական վագոնների նստատեղերի քանակը 99 է։ Քանի՞ նստատեղ ունի 9-րդ վագոնը։

99 + 99 + 99 = 297

381+297=15

Տեղադրման եղանակը։
Համակարգը լուծել տեղադրման  եղանակով, որում անհայտների գործակիցները զրոյից տարբեր են, անհրաժեշտ է՝
1) անհայտներից մեկը (օրինակ՝ y-ը) համակարգի հավասարումներից որևէ մեկից արտահայտել մյուս անհայտով,
2) ստացված արտահայտությունը տեղադրել համակարգի մյուս հավասարման մեջ y-ի փոխարեն,
3) լուծել ստացված մեկ x անհայտով հավասարումը,
4) տեղադրելով ստացված x արժեքը y-ի բանաձևի մեջ՝ գտնել y-ի արժեքը։
Հենց (x; y) թվազույգը կլինի համակարգի միակ լուծում։

Օրինակ, լուծենք այս համակարգը տեղադրման եղանակով․
{4x − 5y − 1 = 0
{7x − y + 6 = 0

համակարգի երկրորդ հավասարումից y-ն արտահայտենք x-ով՝
y = 7x + 6
  և առաջին հավասարման մեջ y-ի փոխարեն տեղադրենք
7x + 6՝
4x − 5 (7x + 6) − 1 = 0
Լուծելով  հավասարումը՝ գտնում ենք նրա միակ արմատը՝
x = −1։
Տեղադրելով x-ի արժեքը   հավասարության մեջ՝ գտնում ենք y-ի արժեքը։
y = 7x + 6 = 7․ (−1) + 6 = −1:
Նշանակում է  համակարգն ունի միակ լուծում՝ (−1; −1)
Պատասխան՝ (−1; −1)։

Առաջադրանքներ։
1. Տրված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով․

ա)x+y=5
y=5-x
բ)2x+y=3
y=3-2x
գ)x+y-5=11
x=11-x+5
դ)y+2=3x
y=3x-2
ե)3x+5y=8
5y=8-3x
զ)-3x+2y=7
2y=7+3x

2. Տրված հավասարումից x-ը արտահայտեք y-ով․

ա)x-y+3=0
x=0+y-3
բ)2x-3y+6=0
2x=0+3x-6
գ)13x+y-2=0
13x=0-y+2
դ)x+2y-5=0
x=0-2y+5
ե)3x+y=8
3x=8-y
զ)-2x+y=-14
-2x=-14-y

ա){x-2y=4
    {x+7y=22
x=4+2y
x=22-7y
22-7y-2y=22-9y=4`
y=2
x=8

բ){-3x+y=5
  {y+4x=26
y=5+3x
y=26-4x
5+3x+4x=5+7x=26`
x=3
y=14

գ) {x − 2y = 0
    {x + 5y = 45
x=2y
x=45-5y
2y+5y=7y=45
y=5
x=10

դ){x − 3y − 7 =0
    {x+7y=87

x=3y+7

x=87-7y

3y-7y=-4y=80

y=-2

x=21

4. Լուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով

Հարցեր կրկնողության վերաբերյալ․
5.Լուծեք մեկ անհայտով հավասարումները․
ա)5x+3x-10=14
15 + 9 — 10 = 14
բ)-3+9y+13-5y=22
գ)(5x+3)-(2x-4)=37
(50 + 3) — (20 — 4) = 37
դ)2x+1=12
11 + 1 = 12

6. Լուծեք խնդիրները կազմելով հավասարում․
   Ջրով լցված լի դույլի զանգվածը 10կգ է։ Որքա՞ն է դատարկ դույլի զանգվածը, եթե հայտնի է, որ այն 9կգ-ով թեթև է նրա մեջ գտնվող ջրից։
   x — 10 = 9
   x = 9 + 10
   x = 19 կգ

Մի անգամ ուսուցիչը հարցրեց իր աշակերտներին.
-Երբ մարդիկ վիճում են, նրանք բղավում են, ինչո՞ւ:
-Որովհետև նրանք կորցնում են իրենց հավասարակշռությունը,- պատասխանեց մի աշակերտ:
-Բայց ինչո՞ւ բղավել, եթե մարդը գտնվում է հենց քո կողքին,-հարցրեց ուսուցիչը,- հնարավոր չէ խոսել շշուկով: Ինչո՞ւ բղավել, եթե դու բարկացած ես:
Աշակերտներն առաջարկեցին իրենց տարբերակաները, բայց պատասխաններից ոչ մեկը չգոհացրեց իրենց ուսուցչին: Վերջապես նա բացատրեց.
-Երբ մարդիկ գոհ չեն միմյանցից և վիճում են, նրանց սրտերը հեռանում են իրարից: Այդ տարածությունը ծածկելու և միմյանց լսելու համար նրանք ստիպված են բղավել: Ինչքան շատ են նրանք բղավում, այնքան բարձր են բղավում:

Իսկ ի՞նչ է պատահում, երբ մարդիկ սիրահարվում են, նրանք չեն բղավում, հակառակը  խոսում են ավելի ցածրաձայն, որովհետև նրանց սրտերը գտնվում են ավելի մոտ, և նրանց միջև գտնվող տարածությունը շատ փոքր է դառնում: Իսկ երբ ավելի ուժեղ են սիրահարվում ինչ է կատարվում,- շարունակեց ուսուցիչը,- չեն խոսում, այլ պարզապես շշնջում են և ավելի են մոտենում իրենց սիրուն: Վերջում անգամ շշնջալը հնարավոր չի լինում, նրանք պարզապես նայում են միմյանց , հասկանում առանց խոսքերի: Այդպես է լինում, երբ իրար կողք կողքի լինում են երկու սիրող մարդիկ:
Ահա այսպես, եթե վիճում եք, ապա թույլ մի տվեք ձեր սրտերին հեռանալ միմյանցից, մի՛ արտաբերեք ոչ մի խոսք, որոնք ավելի են մեծացնում ձեր միջև գտնվող այդ տարածությունը:  Որովհետև կգա մի օր, երբ այդ տարածությունն այնքան մեծ կլինի, որ դուք չեք կարող գտնել հետադարձ ճանապարհը:

Թեմա՝ Զուգահեռագծի հայտանիշները
Եթե տրված է քառանկյուն, ինչպես պարզել, այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է, թե՞ ոչ։ Տեսանյութը տես այստեղ։
Հայտանիշներ։

1. Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

2. Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

3. Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում և հատման կետով կիսվում են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

1.Կարելի՞ է պնդել, որ 4մ, 4մ, 6մ, 6մ կողմերով քառանկյունը զուգահեռագիծ է:
Ոչ

2.ABCD քառանկյան մեջ АB=CD։ Կարելի՞ է պնդել, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է
Ոչ

3.ABCD քառանկյան մեջ АB=CD, BC=AD: Կարելի՞ է պնդել, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
Այո

4.Ձևակերպիր զուգահեռագծի երեք հայտանիշները:
Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում և հատման կետով կիսվում են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է

5.Ուռուցիկ քառանկյան երկու անկյունների աստիճանային գումարը 180 է, գտեք մյուս երկու անկյունների աստիճանային գումարը։
180

6.ABCD ուռուցիկ քառանկյան մեջ AB=CD, <А=70աստիճան է, <D=110 աստիճան։ Ապացուցեք, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
Քառանկյան անկյունների աստիճանային չափերի գումարը 360օ է։ 360օ – 70օ – 110օ = 180օ: Մենք ուզում ենք ստանալ զուգահեռագիծ, ուրեմն մեզ պետք են ևս մեկ 70օ և 110օ անկյուններ՝ <B = 110օ, <C = 70օ:

7.ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է։ Ապացուցեք, որ <BCA=<CAD։
Եթե

8.ABCD քառանկյան մեջ AB = CD և AB || CD, ∠C = 15 աստիճան : Գտեք քառանկյան բոլոր անկյունները։
15օ, 15օ, 165օ, 165օ

9.ABCD ուռուցիկ քառանկյան մեջ AB = CD, ∠B = 70 աստիճան , ∠BCA = 60 աստիճան , ∠ACD = 50 աստիճան: Ապացուցեք, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
AD = DC
Եթե <B = 70o, և <BCA = 60o, ուրեմն <BAC = 50o(180o – 70o – 60o)

AB = DC,
AC = AC,
<BAC = <ACD,
Եռանկյունների հավասարության 1–ին հայտանիշ
△ADC = △BAC:

10.Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 80 աստիճան է:
40o, 40o, 140o, 140o

11.Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե՝
ա) ∠A = 84 աստիճան է ,
<B = 96o, <D = 96o, <C =84o
բ) ∠A – ∠B = 55 աստիճան է ,
<A = 117.5o , <B = 62.5o, <C = 117.5o, <D = 62.5o
գ)∠A + ∠C = 142 աստիճան է։
<A = 71o, <B = 109o, <C = 71o, <D = 109o

12.Դժվար։ Ապացուցուցե զուգահեռագծի առաջին հայտանիշը։
AB||CD, AB = CD,
|=> △ABC =△ACD(Եռանկյունների հավասարության 1-ին հայտանիշ),
|=> BC || AD(Վերևի տողում գրված անկյունները օգտագործում ենք որպես խաչադիր)