Автор: grigoramiryan

Սեղանի միջին գիծ։
Սահմանում։ Սեղանի սրունքների միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է սեղանի միջին գիծ:

Թեորեմ: Սեղանի միջին գիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է նրանց կիսագումարին:
Ապացույցը ինքնուրույն։

Առաջադրանքներ։

1.GEOGEBRA ծրագրով գծիր հավասարասրուն սեղան,  գծիր միջին գիծը։ Հավասարասրուն սեղանը քանի՞ միջին գիծ ունի։

1

2.GEOGEBRA ծրագրով գծիր ուղղանկյուն  սեղան,  գծիր միջին գիծը։ Ուղղանկյուն  սեղանը  քանի՞ միջին գիծ ունի։

1

3. Սեղանի հիմքերն  են 30սմ և 20սմ։ Գտեք սեղանի միջին գծի երկարությունը։

(30:2)+(20:2)=25

4. Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2 : 4, իսկ միջին գիծը 15 սմ է: Գտեք սեղանի հիմքերը:

(2x + 4x) / 2 = 15

(2x + 4x) = 15 * 2

6x = 30

x/6 = 30/6

x = 5սմ

a = 2x

b = 4x

a = 10սմ

b = 20սմ

5.Ուղղանկյուն սեղանի սուր անկյունը 45 աստիճան  է ։ Գտեք մնացած անկյունները։

360-90-90-45=135

6. Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 40 աստիճան  է:

110°, 110°, 70°, 70°:

7. Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2 մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60 աստիճան: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը:

Քանի որ այս քառանկյունը հավասարասրուն է երկրորդ սրունքը նույնպես 2մ է։ Դա նշանակում է, որ երկրորդ անկյունը նույնպես 60°: 

8. M և N կետերը գտնվում են տրված ուղղի մի կողմում, և նրանց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10 սմ և 22 սմ: Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը այդ ուղղից:

16սմ

Թեմա՝ Սեղան

Սահմանում։ Սեղան է կոչվում այն ուռուցիկ քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն: Տես նկարը՝

Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր:
Նկարում AD -ն և BC -ն սեղանի հիմքերն են:  

Սեղանի կողմերը, որոնք զուգահեռ չեն, կոչվում են  սրունքներ:
AB -ն և CD-ն սեղանի սրունքներն են:  

Հիշիր։
Սեղանի  անկյունների գումարը (ցանկացած քառանկյան) 360° է:
Ցանկացած սեղանի սրունքին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:

Սահմանում։
Սեղանը կոչվում է ուղղանկյուն սեղան, եթե նրա սրունքներից որևէ մեկը ուղղահայաց է հիմքերին, տես նկարը։

Նկարում AB -ն ուղղահայց է սեղանի հիմքերին։ <А, <B 90 աստիճան են։  

Սահմանում։
Սեղանը, որի սրունքները հավասար են, կոչվում է հավասարասրուն սեղան, տես նկարը։

Նկարում AB -ն և CD -ն սեղանի սրունքներն են և իրար հավասար են։
   Հարցեր և առաջադրանքներ․
1. Ո՞ր պատկերն է կոչվում սեղան, գրիր սահմանումը։
Սեղան է կոչվում այն ուռուցիկ քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը զուգահեռ չեն:

2. GEOGEBRA ծրագրով գծիր սեղան, նշիր սրունքները, հիմքերը, ո՞ր կողմերն են զուգահեռ։

Սրունքներ՝ AB, CD

Հատվածներ՝ BC, AD

Զուգահեռ են՝ ABIICD

3. Ո՞ր պատկերն է կոչվում  ուղղանկյուն սեղան, գրիր սահմանումը։

Սեղանը կոչվում է ուղղանկյուն սեղան, եթե նրա սրունքներից որևէ մեկը ուղղահայաց է հիմքերին։

4. GEOGEBRA ծրագրով գծիր ուղղանկյուն սեղան, նշիր սրունքները, հիմքերը, ո՞ր սրունքն է ուղղահայաց հիմքերին,  ո՞ր անկյուններն են 90 աստիճան։

Հիմքերը՝ BC, AD

Սրունեքները՝ AB, CD

<A=90^o, <B=90^o

Ուղղահայաց են՝ AB

5. Ո՞ր պատկերն է կոչվում հավասարասրուն սեղան, գրիր սահմանումը։

Սեղանը, որի սրունքները հավասար են, կոչվում է հավասարասրուն սեղան:

6. GEOGEBRA ծրագրով գծիր հավասարասրուն սեղան, նշիր սրունքները, հիմքերը, ո՞ր կողմերն են իրար հավասար։

Հիմքերը՝ BC, AD

Սրունեքները՝ AB, CD

AB=CD

7. GEOGEBRA ծրագրով գծիր սեղան, ո՞ր անկյունների գումարն է 180 աստիճան։

8. Ի՞նչի է հավասար սեղանի բոլոր  անկյունների  աստիճանային գումարը։

(n-2)x180=360

(4-2)x180=360

9. Նշիր ճիշտ պնդումը․
ա)Հավասարասրուն սեղանի սրունքները զուգահեռ են:
բ)Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը միշտ հավասար են:
գ)Ցանկացած սեղանի հիմքերը զուգահեռ են:

10. Նշիր ճիշտ պնդումը․ Սեղան կոչվում է այն քառանկյունը, որի
ա)կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:
բ)երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը՝ ոչ:

11. Նշիր ճիշտ պնդումը․ Սեղանը կոչվում է հավասարասրուն, եթե
ա)նրա սրունքները հավասար են:
բ)նրա սրունքները զուգահեռ են:

12. Տրված է ABCD սեղան, որտեղ  <A=37°, <C=121°: Գտիր՝ <B,<D-ն։
59^о, 143^о

13.Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե ∠A = 29°, ∠C = 117° է :
151^о, 63^о

14. Սեղանի հիմքերի հարաբերությունը հավասար է 2:7: Հաշվիր սեղանի մեծ հիմքը, եթե նրա փոքր հիմքը հավասար է 12 սմ:
42սմ

Թեմա՝ Զուգահեռագիծ

1. GEOGEBRA  ծրագրով գծեք ABCD զուգահեռագիծ, նշեք АB կողմին կից և հանդիպակաց կողմերը։

Կից՝ BC, AD

2. GEOGEBRA  ծրագրով գծեք ABCD զուգահեռագիծ, նշեք  А անկյան կից և հանդիպակաց անկյունները։

<A-կից՝ <Β, <D հանդ․ <C

3. Զուգահեռագծի բոլոր անկյունների աստիճանային գումարը ի՞նչ բանաձևով ես հաշվում։

(n-2)x180

n=4

(4-2)x180=360

4. Քառանկյան բոլոր կողմերը 5սմ են։ Կարո՞ղ ենք պնդել, որ այն զուգահեռագիծ է։

Այո, համաձայն II հայտանիշի։

5. GEOGEBRA  ծրագրով գծեք ABCD  քառանկյուն, այնպես որ անկյունագծերը հատման կետով կիսվեն։ Կարո՞ղ ենք պնդել, որ այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Այո, համաձայն III հայտանիշի

6. Զուգահեռագծի անկյունագիծը երկու կից կողմերի հետ կազմում է համապատասխանաբար 25 աստիճանի և 35 աստիճանի անկյուններ: Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները:

60°, 120°, 60°, 120°

7. Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե  ∠A = 80 աստիճան է։

80, 80, 180:

8. Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե  ∠A – ∠B = 55 աստիճան է։

180-55=125

125:2=62.5

62.5+55=117.5

9.  Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե ∠A + ∠C = 142 աստիճան է։
<A =71 ^o
<B =109 ^o
<C =71 ^o
<D = 109^o

10. Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները ,  եթե  ∠A = 2 * ∠B:
<A =120 ^o
<B =60 ^o
<C =120 ^o
<D = 60^o

11. Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե  ∠CAD = 16 աստիճան է, իսկ  ∠ACD = 37 աստիճան է։
<A =53 ^o
<B =127 ^o
<C =53^o
<D =127 ^o

12. Զուգահեռագծի պարագիծը  70 սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե կողմերից մեկը վեց  անգամ մեծ է մյուսից:

5սմ, 30սմ

Թեմա՝ Զուգահեռագիծ

1. Զուգահեռագծի անկյուններկց մեկը  55° է: Գտիր զուգահեռագծի մյուս անկյունները:

55, 55, 125, 125

2. Զուգահեռագծի մի կողմը 29 սմ է, իսկ մյուս կողմը 7 սմ-ով մեծ է նրանից: Գտիր զուգահեռագծի պարագիծը:

29+7=36

29×2=58

36×2=72

72+58=130

3. Զուգահեռագծի կողմերը 10 և 15 են։ Գտիր Զուգահեռագծի պարագիծը:

10×2=20

15×2=30

30+20=50

4. Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը մյուսից մեծ է 30 աստիճանով։ Գտիր զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

180-30=150

150:2=75

75+30=105

5. ABCD զուգահեռագծի մեջ օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։ AOD եռանկյան պարագիծը հավասար է 25սմ, AC=16սմ, BD=14 սմ։ Գտի՛ր  BC-ն։

10

6. ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է։ Ապացուցեք, որ եռանկյուն ABC հավասար է եռանկյուն ACD-ին։

Եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշ։
AB = DC
BC = AD
AC = AC

7. ABCD զուգահեռագծի А անկյունը  2  անգամ փոքր է B անկյունից։ Գտեք զուգահեռագծի բոլոր անկյունները։

60, 60, 120, 120

8.ABCD զուգահեռագծի մեջ օ-ն զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է։  Գտեք BO և ОC-ն, եթե BD=12, AC=17:

BO = 6
OC = 8.5

9. ABCD զուգահեռագծի  A անկյան  կիսորդը  BC հատվածում հատում է k կետում  և տրոհում է  15 սմ  և 9սմ  հատվածների ։Գտի՛ր զուգահեռագծի պարագիծը ։

10. Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100 աստիճան է:

50, 50, 130, 130

Օրվա աշխատանքը։
Կրկնողություն
1. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) a^2-b^2
բ)25+p^2
գ)x^2-9
դ)4a^2-9
ե)1-m^2
զ)16-9y

2. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) m^2+n^2
բ) 4+x^2
գ) 4+9a^2
դ) 1+p^2
ե) 4x^2+1
զ) 1+p^2
ե) 4+9a^2
է) 9m^2+10n^2
ը) 9x^2+16y^2

3. Լուծիր գծային հավասարումների համակարգը

ա) {x=3
{x+y-4=0

Աշխատում ենք ինքնուրույն

1.Կազմիր մեկ անհայտով գծային հավասարում։ Նշիր անհայտի գործակիցը, այնուհետև փորձիր  լուծել։
Տես օրինակը՝
2x+5=35
Անհայտի գործակիցն է՝ 2
Լուծումը կլինի՝
2x=35-5
2x=30
x=15
5x-10=40
5x=40-10
5x=30
x=7

2. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Նշիր x-ի, y-ի գործակիցները, ազատ անդամը։
Տես օրինակը՝
3x+45y-21=0
x-ի գործակիցը՝ 3
y-ի գործակիցը՝ 45
Ազատ անդամը՝ -21
7x+20y-60=0
x-ի գործակիցը՝ 7
y-ի գործակիցը՝ 20
Ազատ անդամը՝ -60

3. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Հավասարման համար գտիր երկու տարբեր լուծումներ։
Տես օրինակը՝
x+y=30
Առաջին լուծումը՝ x=14; y=16
Երկրորդ լուծումը՝ x=13; y=17
x+y=29
Առաջին լուծումը՝ x=14; y=15
Երկրորդ լուծումը՝ x=13; y=16

4. Կազմիր առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում այնպես, որ լուծումը լինի այս թվազույգը՝ (4, 5):
Տես օրինակը՝ 4x+5y-41=0

              

5. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնուհետև x-ը արտահայտիր y-ով։  Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնուհետև y-ը արտահայտիր x-ով։

Տես օրինակը՝
x+7y=48
x=48-7y
Հաջորդ օրինակը՝
y+2x-21=0
y=21-2x

x+4y-20=43
4y=43+20-x

6. Ցույց տուր, որ  (1; 2)  թվազույգը համակարգի համար լուծում է.
{x+y-3=0
{x-y+1=0
2x = 2
x = 1
y = 3 — 1
y = 2
(1; 2)

7. Lուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով.
{x-5y=0
{7y+x=36
x = 5y
12y = 36
y = 3
x = 15
(3; 15)

8. Lուծիր համակարգը գումարման եղանակով.
{x+y=28
{x-y=22
x+y+x-y=50
2y=50
y=25
x=28-25
x=3
(3; 25)

9.Lուծիր համակարգը հանման եղանակով.
{7x-y=0
{3x-y=40
4x=-40
x=-10
y=40+30
y=70
(-10; 70)

10.Lուծիր համակարգը գործակիցները հավասարեցման եղանակով։{2x+3y=80
{3x+2y=70
5y = 100
y = 20
6x = 140 — 80
6x = 60
x = 10
(10; 20)

1.Լուծել հավասարումների համակարգերը տեղադրման եղանակով․

ա) {3x+y=7 
{5x+y=13
y=7-3x
5x+7-3x=13
5x-3x=13-7
2x=6
x=3
y=7-3×3
y=-9
(3;-9)

բ) {2x+y=12
    {7x+y=37
y=12-2x
7x+12-2x=37
7x-2x=37-12
5x=25
x=5
y=12-2×5
y=2
(5;2)

2. Լուծել հավասարումների համակարգերը գումարման եղանակով․

ա){x+y=9
  {-x+y=3
x+y+(-x+y)=12
2y=12
y=6
x=6+9
x=15
(15;6)

բ) {2x+11y=15
    {10x-11y=9
2x+11y+10x-11y=24
12x=24
x=2
y=4+15
y=19
(2;19)

3. Լուծել հավասարումների համակարգերը քեզ հարմար եղանակով․

ա) {7x+y=82
      {y-2x=1

բ) {8y+2x=60
    {2x-21y=2

Լուծիր խնդիրները նախապես կազմելով երկու անհայտով երկու հավասարումների  համակարգ։

4. Մի թիվը 7-ով մեծ է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը՝ 6 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 51։
Գտեք այդ թվերը։

{x-y=7
{x=7+y
2y+3x=51
2y + 3x(7+y)=51
2y+21+3y=51
2y+3y=5y
5y=51-21
5y=30
30:5y=6
y=6
6+7+y=6+7=13
x=13
(13;6)

 5.  Մի թիվը 10-ով փոքր է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 3 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 70։ Գտեք այդ թվերը։

{x-y=10         
{3x+y=70
x=10+y
3(10+y)+y=70
30+3y+y=70
4y+30=70
4y=70-30
4y=40
y=10
x=10+10
x=20
(20;10)

6.  Երկու թվերի գումարը 21 է, իսկ տարբերությունը՝ 9։ Գտեք այդ թվերը։

{x+y=21
{x-y=9
x = 9+y
9+y+y = 21
9+2y = 21
2y = 21-9
2y = 12
y = 6
x = 9+6
x = 15:

7. Մի թիվը 6-ով մեծ է մյուսից։ Այդ թվերի գումարը հավասար է 40-ի։ Գտեք այդ թվերը։ 8. Մի թիվը 15-ով փոքր է մյուսից։ Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 23 է։

{x =y+6
{x+y=40
y+6+y=40
2y+6 = 40
2y = 34
y = 34/2
y = 17
x = 17+6
x = 23

Լուծիր հավասարումների համակարգը քեզ հարմար եղանակով․
1.Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{x+2y-3=0
{x+y+1=0
x+2y- x-y-1= 0
y=1
x+1+1=0
x+2=0
x=-2
(-2;1)

2. Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{x-3y+3=0
{x+y-1=0
x-3y+3-x-y+1=0
-4y+4=0
-4y=-4
y=1
x+1-1=0
x=0
(0;1)

3.Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{4x+y-2=0
{3x+y+3=0
4x+y-2-3x-y-3=0
x-5=0
x=5
15+y+3=0
y=-18
(5;-18)


4.Հուշում․ Երկրորդ հավասարումից հանիր առաջին հավասարումը։
{x-y-7=0
{3x-y+1=0
3x-y+1-x+y+7=0
2x=-8
x=-4
-4-y-7=0
y=11
(-4;11)

5.Հուշում․ Հավասարումների համապատասխանաբար աջ և ձախ կողմերը իրար գումարիր։
{x+3y-1=0
{-x+4y+8=0
x+3y-1-x+4y+8=0
7y+7=0
y=-1
x-3-1=0
x=4
(4;-1)


6.Հուշում․ Հավասարումների համապատասխանաբար աջ և ձախ կողմերը իրար գումարիր։
{x-2y+3=0
{-x+3y-2=0


Լուծիր խնդիրները նախապես կազմելով երկու անհայտով երկու հավասարումների համակարգ։
7.
Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից։ Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 48։ Գտեք այդ թվերը։
{x = 2y
{4y + 2x = 48
(12 ; 6)

8.
Մի թիվը 3 անգամ փոքր է մյուսից։ Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 45։ Գտեք այդ թվերը։
{x = 3y
{2y + y= 45
(27 ; 9)

Համակարգը լուծելու երկրորդ եղանակ․ Գործակիցները հավասերացման կամ գումարման եղանակ։

Առաջադրանքներ։
Լուծիր համակարգը գործակիցները հավասարեցման եղանակով։
1.
{ 4x+10y=22|3
{3x+7y=10|4
{12x+30y=66
{12x+28y=40
{12x+30y-12y-28y=26
2y=26
y=13
4x+130=22
4x=22-130
4x=-108
x=-27
(13;-27)


2.
{6x-2y=6|5
{5x-y=7|6
{30x-10y=30
{30x-6y=42
30x-10y-30x+6y=-12
-4y=-12
y=3
5x-3=7
5x=10
x=2
(2;3)



3.
{2x+5y=15|2    
{3x+2y=6|5
{4x+10y=30
{15x+10y=30
4x+10y-15x-10y=0
-11x=0
x=0
0+2y=6
2y=6
y=3
(0;3)

4.
{2x+4y=6|1
{3x-2y=25|2
{2x+4y=6
{6x-4y=50
2x+4y-6x-4y=-44
4x=-44
x=11
22+4y=6
4y=-16
y=-4
(11;-4)

5.
{x+2y=3
{2x-3y=-8

Լուծիր խնդիրները։
6.Գինեգործը իր ունեցած 420 դույլ գինուց վաճառեց 6 անգամ ավելի շատ դույլ գինի, քան իր մոտ մնաց։ Նա որքա՞ն դրամ վաստակեց, եթե յուրաքանչյուր 5 դույլ գինին վաճառեց 2500 դրամով։
6x + x = 420դույլ գինի
7x = 420 դույլ գինի
x = 60 դույլ գինի
6x = 360 դույլ գիգնի
360 : 5 = 72 հնգյակ
72 * 2500 = 180 000 դրամ

7. Դարակում կա 100-ից ոչ շատ գիրք։ Քանի՞ գիրք կա դարակում, եթե այդ գրքերով կարող ենք պատրաստել և՛ երեքական, և՛ չորսական, և՛ հնգակական կապոցներ։
60

8. Քանի՞ ութանիշ թիվ կա, որի թվանշանների գումարը 2 է։
8

9. Կովը մի խուրձ խոտը  ուտում է 5 ժամում, ձին ուտում է 10 ժամում, իսկ էշը՝ 30 ժամում։ Մեկ խուրձ խոտը միասին քանի՞ ժամում կուտեն։
3ժ

Համակարգը լուծելու տեղադրման եղանակը։
Լուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով․
1.

{y+2x=7
{3x+y=11

y = 7 — 2x

3x + y = 11

3x + (7 — 2x) = 11

7 — 2x + 3x = 11

7 + x = 11

x = 11 — 7

x = 4

(4; -1)

2.
{2x+y-1=0
{y+5x-16=0

(5; -9)

3.
{3x-4y=100
{x-8y=0

(40; 5)

4.

{x+2y-14=0
{x+3y-7=0

(28; -7)

5.

{x-y=2
{x+y=6

(4; 2)

6.
{x+4y-2=0
{10y+x=14
(-6; 2)

7.
{3x-2y=88
{x=8y

(32; 4)

8.
{x-2y=3
{x+3y=25

(13.4; 4.4)

Խնդիրներ ֆլեշմոբից։
9. Աննա ​​ջնջելով  2312 թվից 3 թվանշանը ստացավ 212 թիվը: Քանի՞ քառանիշ թվից կարող է ջնջել մեկ թվանշան, որ արդյունքում ստացվի 212 թիվը:

39

10. Գնացքը կազմված է 11 ոչ միատեսակ վագոններից, որոնց ընդհանուր նստատեղերի քանակը 381 է։ Հայտնի է, որ յուրաքանչյուր երեք հաջորդական վագոնների նստատեղերի քանակը 99 է։ Քանի՞ նստատեղ ունի 9-րդ վագոնը։

99 + 99 + 99 = 297

381+297=15