Рубрика: Հանրահաշիվ

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային անհավասարումներ։

Անհավասարումները, որոնց ձախ և աջ մասերը x փոփոխականի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ կամ թվեր են, անվանում են x մեկ անհայտով գծային անհավասարումներ: 

Հետևյալ անհավասարումները գծային անհավասարումների օրինակներ են:

ա)3x+5<x−2,  բ)5x−4≥−3x−8,  գ)−4x<−2x+6

Լուծենք դրանք:

ա 3x+5<x−2 3x−x<−2−5 2x<−7 x<−3.5 Պատ․՝ x∈(−∞;−3.5]

բ 5x−4≥−3x−8 5x+3x≥−8+4 8x≥−4 x≥−0.5 Պատ․՝ x∈[−0.5;+∞)

գ −4x<−2x+6 −4x+2x<6 −2x<6 x>−3 Պատ․ ՝x∈(−3;+∞)

Գծային անհավասարումներ լուծելիս օգտվում են հետևյալ կանոններից:

1) Անհավասարման անդամները կարելի է տեղափոխել նրա մի մասից մյուսը՝ փոխելով տեղափոխվող անդամի նշանը հակադիրով:

2) Անհավասարման մեջ կարելի է կատարել նման անդամների միացում:

3) Անհավասարումը դրական թվով բազմապատկելիս նրա նշանը չի փոխվում:

4) Անհավասարումը բացասական թվով բազմապատկելիս նրա նշանը փոխվում է հակադիրով:

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել անհավասարումները։

1.
ա) x=(-∞;1)
բ) x=(-1;+∞)
գ) x=(-∞,-1)
դ) x=(-∞;-13/2)

2.
ա) x=(-∞;3)
բ) x=(8/3;+∞)
գ) x=(-∞; -1/2)
դ) x=(-∞;3)

3.
ա) x=(-∞;5)
բ) 0
գ) x=R
դ) 0

4.
ա) 0
բ) 0
գ) 0
դ) x=5

5.
ա) x=(-∞;24)
բ) x=(-∞;6)

2․ Լուծել անհավասարումները։

ա) x=(1;+∞)
բ) x=(-∞;5)
գ) x=(-∞;2)
դ) x=(5;+∞)

3․Լուծել անհավասարումները

ա) x=(-∞;3)
բ) x=(-5/2;+∞)
գ) x=(-∞;1/2)
դ) o

Առաջադրանքներ։

1․Գումարել թվային անհավասարությունները։

ա) 18>11 և 15>7,  բ) -4>-6 և 13>8  գ) -16<-7 և 12<37, դ) -9<0 և 5<19

ա) 18 + 15 > 11 + 7
33>18
բ) -4 + 13 > -6 + 8
9>2
գ) -16 + 12 < -7 + 37
-4<30
դ) -9 + 5 < 0 + 19
-4<19

2. Գումարել թվային անհավասարությունները։

ա) 14 + 10 > 11 + 9
բ) -2 + 3 > -3 + 2
գ) -6 + 2 > -5 + 3
դ) -8 + 8 <= 0 + 9

3․Բազմապատկել թվային արտահայտությունները։

ա) 14>10 և 2>1  բ) 5>3 և 6>5  գ) 6<7 և 2<3  դ) 8<9 և 1<2

ա) 14 * 2 > 10 * 1
բ) 5 * 6 > 3 * 5
գ) 6 * 2 < 7 * 3
դ) 8 * 1 < 9 * 2

4․Գումարել  անհավասարությունները: ա) 22>17 և 3.2>0.6 բ) 53<65 և 7,6<10,9

ա) 22 + 3.2 > 17 + 0.6
բ) 53 + 7.6 < 65 + 10.9

5․Զբոսաշրջիկ առաջին օրն անցավ 20 կմ-ից ավելի, իսկ երկրորդ օրը 25 կմ-ից ավելի։ Արդյո՞ք կարելի պնդել, որ զբոսաշրջիկն անցել է 45 կմ-ից ավելի ճանապարհ։ Պատասխանը հիմնավորել։

Այո, քանի որ 20 + n + 25 + n > 45 = 45 + 2n > 45, եթե n-ը դրական է և մեր մոտ հաստատ դրական է։

6․ Ուղղանկյան երկարությունը 13 սմ-ից փոքր է, իսկ լայնությունը՝ 5 սմ-ից փոքր։Արդյո՞ք կարելի պնդել, որ ուղղանկյան մակերեսը 65 սմ²-ից ավելի է։ Պատասխանը հիմնավորել։

Ոչ, քանի որ 13 – n * 5 – n < 65 = 13 – 6n < 65 , եթե n-ը դրական է և մեր մոտ հաստատ դրական է։

Թեմա՝ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի հատկություները

Դիցուք a-ն և b-ն զրոյից տարբեր ցանկացած իրական թվեր են, իսկ m-ը և n-ը՝ ցանկացած ամբողջ թվեր։ Այդ դեպքում ճիշտ են հետևյալ հավասարությունները՝


Տես օրինակները


Առաջադրանքներ։
1. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 2^3×2^4=2^3+4=2^7

բ) 5×5^6=5^1+6=5^7

գ) 4^3×4^2×4=4^3+2+1=4^6

դ) 7^2x7x7^5=7^2+^1+5=7^8

ե) 3^6×3^7x3x3=3^6+^7+1+1=3^15

զ) 6^4×6^4×6^3×6^2=6^4+4+3+2=6^13

է) 11^2×11^2×11^2=11^2+2=2

ը) 9^3×9^6×9^2×9^4×9=9^3+6+2+4=6^15

2. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^5^.a^4=a^5+4=a^9

բ) a^3^.a^8=a^3+8=a^11

գ) a^10^.a=a^10+1=a^11

դ) a^.a^7=a^8

ե) a^.a=a^1+1=a^2

զ) a^.a^2^.a^3^.a^4=a^1+2+3+4=a^10

3. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 2^5:2^4=2^5-4=2

բ) 3^7:3^8=3^-1

գ) 5^9:5=5^9-1=5^8

դ) 10^3/10=10^3-1=10^2

ե) 5^7/5^13=5^7-13=5^-6

զ) 8^12/8^10=8^12-10=8^2
4. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^7:a^3=a^7-3=a^4

բ) a^8:a^12=a^8-12=a^-4

գ) a^6:a=a^6-1=a^5

դ) a^12/a^4=a^12-4=a^8

ե) a^20/a^22-a^20-22=a^-2

զ) a^20/a=a^20-1=a^19
5. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 10^2/12^2=(10/12)^2

բ) 4^3/5^6=(2^2)^3/5^6=(4^6/5^6)

գ) 25^4/7^8=(5^2)^7/7^8=5^8/7^8=(5/7)^8

դ) (m^3)^4/(a^3)^3=m^12/a^12=(m/a)^12

ե) m^3m^5/a^8=m^3+5/a^8=m^8/a^8

զ) (n^6)^2/a^12=n^12/a^12

6. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^3^.a^4=a^3+4=a^7

բ) a^4^.a=a^4+1=a^5

գ) a^13:a^6=a^13-6=a^7

դ) a^12:a=a^12-1=a^11

ե) (a^4)^6=a^24

զ) (a^2)^5=a^1-

է) a^7^.b^7=(ab)^7

ը) a^4^.b^4=(ab)^4

7. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^5:a^6=a^5-6=a^-1

բ) a^7:a^6=a^7-6=a^1

գ) a^4:a=a^4-1=a^3

դ) a^12:a^12=a^12-12=a^0=1

ե) a^-4:a^6=a^-4-6=a^-10

զ) a^4:a^-5=a^4-(-5)=a^9

է) a^-11:a^-8=a^-11-(-8)=a^-3

ը) a^-4:a=a^4-1=a^-3

թ) a^6:a^5=a^6-5=a

ժ) a^9:a^0=a^9-0=a^9

ի) a^-3:a^0=a^-3-0=a^-3

լ) a^0:a^-8=a^0-(-8)=a^8

8. Աստղանիշի փոխարեն գրեք այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը ճիշտ լինի.

ա 3^5x*=3^8

3^8:3^5=3^3

բ) 4^3x*=4^6

4^6:4^3=4^3

Թեմա՝ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի գաղափարը

Թվի (միանդամի) ցուցիչը, երբ բնական թիվ էր, մենք ուսումնասիրել ենք նախորդ ուսումնական տարում, այս տարի էլ հասցրել ենք մի քիչ  կրկնել, տես օրինակը

Երբևէ  մտածել ես ինչի՞ է հավասար այս արտահայտությունը, երբ թվի ցուցիչը բացասական թիվ է կամ զրո է

Պայմանավորվենք, այսուհետ բացասական ցուցիչով աստիճանը համարել՝


Օրինակներ Տիգրան





Կարևոր


Առաջադրանքներ

1. Հաշվեք․

ա) 5^0=1

բ) [-1/3]^0=1

գ) (-1,2)^0=1

դ) (-1)^0=1


2. Հաշվեք․

ա) 2^4/2^3=2^1=2

բ) 2^4/2^4=2^0=1

գ) 2^4/2^5=2^-1

դ) 2^5/2^7=2^-2


3. Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․

ա) 2x2x2x2=2^4

բ) 2^3×2^5=2^8

գ) 1/3^2=3^-2

դ) 4=2^2

ե) 1/3=3^-1

զ) 1/3x3x3x3=-3^-5

է) 5=2,5^2

ը) 1/16=1/4^2=4^-2

թ) 1/25=1/5^2=5^-2

ժ) 2^3:2^3=2^0=1

4. Հաշվեք․

ա) 10^4=10000

10^3=1000

10^2=100

10^1=10

10^-1=1/10

10^-2=1/10^2=1/100

10^-3=1/10^3=1/1000

10^-4=1/10^4=1/10000

բ) 2^5=32

2^4=16

2^3=8

2^2=4

2^1=2

2^-1=1/2

2^-2=1/2^2=1/4

2^-3=1/2^3=1/8

2^-4=1/2^4=1/16

2^-5=1/2^5=1/32

գ) (-3)^3=-27

(-3)^2=-9

(-3)^1=-3

(-3)^0=-1

(-3)^-1=1/-3

(-3)^-2=1/-3^2=1/-9

(-3)^-3=1/-3^3=1/-27

5. Համեմատեք․

ա) 5^0 > (-5)^0

բ) 5^-2 > 5^2

գ) (-2)^3 < (-2)^0

դ) -3^2 > (-3)^2

ե) (-2)^4 < 2^-4

զ) -2^4 > 2^-4

Առաջադրանքներ կրկնողության համար

1. 

ա) x^4y^4

բ) 1000a^3

գ) 27bc^3

դ) x^3y^3z^3

ե) 16a^2b^2c^2

զ) 256a^4 b^4

է) 32+a^5+b^5

ը) 3a^2

2.

ա) 8 x^2 y^4

բ) a^4 b^3

գ) a^5 b^4 c^3

դ) 9 x^3 y^5 z^2

ե) a^4 x^4

զ) a^6 b^5

3.

ա) (ab)^4

բ) (3x)^3

գ) (0,245b)^2

դ) (-2xy)^3

ե) (3xy)^4

զ) (2y)^5

ի) (2a)^4

լ) (4a)^2

թ) (2m)^3

4.

ա) a^12

բ) x^10

գ) x^5 y ^3 z

դ) b^2 c^4 d^8

ե) 9 a^6

զ)

5.

ա) a^11:a^4=a^7

բ) a^5:a^3=a^2

գ) a^9:a^6=a^3

դ) a^n+1:a^2

ե) a^3.a^5=a^8

զ) a^2.a^7=a^9

6.

ա) y^8 x^12

բ) 8 a^6

գ) 2t a^6

7.

ա) 6a^2 b

բ) 8 b^2 c^5

գ) 9 c^2 t^3

դ) 14 x^4 y^5

ե) 6 x^4 y^4

Ուղղանկյունը այն զուգահեռագիծն է, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են։ Նկատենք, որ ուղղանկյունը կարող է դիտվել որպես զուգահեռագիծ, այսնինքն՝ այն օժտված է զուգահեռագծի բոլոր հատկություններով։
Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են։

Ուղղանկյան հատկությունները․

Քանի որ ուղղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

1. Ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=CD, BC=AD

2. Ուղղանկյան յուրաքանչյուր անկյուն 90° է:

Հետևաբար, հանդիպակաց անկյունները հավասար են և կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:

3. Ուղղանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD AO=OC

Նաև՝ BO=OD=AO=OC

4. Անկյունագիծը ուղղանկյունը բաժանում է երկու հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

5. Անկյունագծին առընթեր խաչադիր անկյունները հավասար են:

6. Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են՝ BD=AC

Ուղղանկյան չորս գագաթները լատիներեն մեծատառերով են նշանակում։  Կարելի է սկսել ցանկացած գագաթի տառից, բայց գագաթների հերթականությունը պետք է պահպանել:

Հարցեր և առաջադրանքներ։
1.Ո՞ր պատկերն է կոչվում ուղղանկյուն։

Ուղղանկյունը այն զուգահեռագիծն է, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են։

2.GEOGEBRA ծրագրով գծեք ABCD ուղղանկյուն, նշեք ուղղանկյան  հավասար կողմերը։

AB=DC

AD=BC

3. GEOGEBRA ծրագրով գծեք ABCD ուղղանկյուն, գծեք անկյունագծերը, նշեք չորս կողմերը։

AB,DC,DB,CA

4. Գտեք  ուղղանկյան բոլոր անկյունների աստիճանային գումարը։ Ո՞ր բանաձևով հաշվեցիր։

360^0

5. Նշեք ուղղանկյան մի կողմին առընթեր անկյունների գումարի աստիճանային չափը։

180^0

6. Նշեք ուղղանկյանը բնորոշ որևէ հատկություն։

Սղան, աթոռ, համագարգիչ։

7. Ապացուցեք, որ այն զուգահեռագիծը, որի մի անկյուը ուղիղ է, ապա այն ուղղանկյուն է։

Բոլոր անկյուները 90^0

8. Գտեք ABCD ուղղանկյան պարագիծը, եթե նրա կից կողմերը 12սմ, 50մմ են։

(12սմ + 55մմ) * 2=25սմ 10մմ

9. Ուղղանկյան լայնությունը 84սմ է, իսկ երկարությունը 6 սմ-ով մեծ է լայնությունից։ Գտեք ուղղանկյան պարագիծը։

1)84+6=90 (երկարություն)
2)(90+84)*2=348 սմ

Պատ․՝ p=348սմ

10. Հաշվիր ուղղանկյան պարագիծը, եթե հայտնի է, որ նրա լայնության և երկարության գումարը 46սմ  է։

1)46:2=23

2)(23+23)*2=92 սմ

Պատ․՝92 սմ

11. Ուղղանկյան երկարությունը 26 սմ է, որը 6սմ -ով մեծ է լայնությունից։ Գտեք ուղղանկյան պարագիծը։

1)26-6=20(լայնություն)
2)(26+20)*2=92 սմ

Պատ․՝92սմ

12. Ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից 4սմ է, իսկ փոքր կողմից՝ 6սմ։ Գտեք ուղղանկյան պարագիծը։

40 սմ

Օրվա աշխատանքը։
Կրկնողություն
1. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) a^2-b^2
բ)25+p^2
գ)x^2-9
դ)4a^2-9
ե)1-m^2
զ)16-9y

2. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) m^2+n^2
բ) 4+x^2
գ) 4+9a^2
դ) 1+p^2
ե) 4x^2+1
զ) 1+p^2
ե) 4+9a^2
է) 9m^2+10n^2
ը) 9x^2+16y^2

3. Լուծիր գծային հավասարումների համակարգը

ա) {x=3
{x+y-4=0

Աշխատում ենք ինքնուրույն

1.Կազմիր մեկ անհայտով գծային հավասարում։ Նշիր անհայտի գործակիցը, այնուհետև փորձիր  լուծել։
Տես օրինակը՝
2x+5=35
Անհայտի գործակիցն է՝ 2
Լուծումը կլինի՝
2x=35-5
2x=30
x=15
5x-10=40
5x=40-10
5x=30
x=7

2. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Նշիր x-ի, y-ի գործակիցները, ազատ անդամը։
Տես օրինակը՝
3x+45y-21=0
x-ի գործակիցը՝ 3
y-ի գործակիցը՝ 45
Ազատ անդամը՝ -21
7x+20y-60=0
x-ի գործակիցը՝ 7
y-ի գործակիցը՝ 20
Ազատ անդամը՝ -60

3. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ Հավասարման համար գտիր երկու տարբեր լուծումներ։
Տես օրինակը՝
x+y=30
Առաջին լուծումը՝ x=14; y=16
Երկրորդ լուծումը՝ x=13; y=17
x+y=29
Առաջին լուծումը՝ x=14; y=15
Երկրորդ լուծումը՝ x=13; y=16

4. Կազմիր առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում այնպես, որ լուծումը լինի այս թվազույգը՝ (4, 5):
Տես օրինակը՝ 4x+5y-41=0

              

5. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնուհետև x-ը արտահայտիր y-ով։  Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնուհետև y-ը արտահայտիր x-ով։

Տես օրինակը՝
x+7y=48
x=48-7y
Հաջորդ օրինակը՝
y+2x-21=0
y=21-2x

x+4y-20=43
4y=43+20-x

6. Ցույց տուր, որ  (1; 2)  թվազույգը համակարգի համար լուծում է.
{x+y-3=0
{x-y+1=0
2x = 2
x = 1
y = 3 — 1
y = 2
(1; 2)

7. Lուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով.
{x-5y=0
{7y+x=36
x = 5y
12y = 36
y = 3
x = 15
(3; 15)

8. Lուծիր համակարգը գումարման եղանակով.
{x+y=28
{x-y=22
x+y+x-y=50
2y=50
y=25
x=28-25
x=3
(3; 25)

9.Lուծիր համակարգը հանման եղանակով.
{7x-y=0
{3x-y=40
4x=-40
x=-10
y=40+30
y=70
(-10; 70)

10.Lուծիր համակարգը գործակիցները հավասարեցման եղանակով։{2x+3y=80
{3x+2y=70
5y = 100
y = 20
6x = 140 — 80
6x = 60
x = 10
(10; 20)

1.Լուծել հավասարումների համակարգերը տեղադրման եղանակով․

ա) {3x+y=7 
{5x+y=13
y=7-3x
5x+7-3x=13
5x-3x=13-7
2x=6
x=3
y=7-3×3
y=-9
(3;-9)

բ) {2x+y=12
    {7x+y=37
y=12-2x
7x+12-2x=37
7x-2x=37-12
5x=25
x=5
y=12-2×5
y=2
(5;2)

2. Լուծել հավասարումների համակարգերը գումարման եղանակով․

ա){x+y=9
  {-x+y=3
x+y+(-x+y)=12
2y=12
y=6
x=6+9
x=15
(15;6)

բ) {2x+11y=15
    {10x-11y=9
2x+11y+10x-11y=24
12x=24
x=2
y=4+15
y=19
(2;19)

3. Լուծել հավասարումների համակարգերը քեզ հարմար եղանակով․

ա) {7x+y=82
      {y-2x=1

բ) {8y+2x=60
    {2x-21y=2

Լուծիր խնդիրները նախապես կազմելով երկու անհայտով երկու հավասարումների  համակարգ։

4. Մի թիվը 7-ով մեծ է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը՝ 6 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 51։
Գտեք այդ թվերը։

{x-y=7
{x=7+y
2y+3x=51
2y + 3x(7+y)=51
2y+21+3y=51
2y+3y=5y
5y=51-21
5y=30
30:5y=6
y=6
6+7+y=6+7=13
x=13
(13;6)

 5.  Մի թիվը 10-ով փոքր է մյուսից։ Եթե փոքր թիվը մեծացվի 3 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 70։ Գտեք այդ թվերը։

{x-y=10         
{3x+y=70
x=10+y
3(10+y)+y=70
30+3y+y=70
4y+30=70
4y=70-30
4y=40
y=10
x=10+10
x=20
(20;10)

6.  Երկու թվերի գումարը 21 է, իսկ տարբերությունը՝ 9։ Գտեք այդ թվերը։

{x+y=21
{x-y=9
x = 9+y
9+y+y = 21
9+2y = 21
2y = 21-9
2y = 12
y = 6
x = 9+6
x = 15:

7. Մի թիվը 6-ով մեծ է մյուսից։ Այդ թվերի գումարը հավասար է 40-ի։ Գտեք այդ թվերը։ 8. Մի թիվը 15-ով փոքր է մյուսից։ Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 23 է։

{x =y+6
{x+y=40
y+6+y=40
2y+6 = 40
2y = 34
y = 34/2
y = 17
x = 17+6
x = 23

Լուծիր հավասարումների համակարգը քեզ հարմար եղանակով․
1.Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{x+2y-3=0
{x+y+1=0
x+2y- x-y-1= 0
y=1
x+1+1=0
x+2=0
x=-2
(-2;1)

2. Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{x-3y+3=0
{x+y-1=0
x-3y+3-x-y+1=0
-4y+4=0
-4y=-4
y=1
x+1-1=0
x=0
(0;1)

3.Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{4x+y-2=0
{3x+y+3=0
4x+y-2-3x-y-3=0
x-5=0
x=5
15+y+3=0
y=-18
(5;-18)


4.Հուշում․ Երկրորդ հավասարումից հանիր առաջին հավասարումը։
{x-y-7=0
{3x-y+1=0
3x-y+1-x+y+7=0
2x=-8
x=-4
-4-y-7=0
y=11
(-4;11)

5.Հուշում․ Հավասարումների համապատասխանաբար աջ և ձախ կողմերը իրար գումարիր։
{x+3y-1=0
{-x+4y+8=0
x+3y-1-x+4y+8=0
7y+7=0
y=-1
x-3-1=0
x=4
(4;-1)


6.Հուշում․ Հավասարումների համապատասխանաբար աջ և ձախ կողմերը իրար գումարիր։
{x-2y+3=0
{-x+3y-2=0


Լուծիր խնդիրները նախապես կազմելով երկու անհայտով երկու հավասարումների համակարգ։
7.
Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից։ Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 48։ Գտեք այդ թվերը։
{x = 2y
{4y + 2x = 48
(12 ; 6)

8.
Մի թիվը 3 անգամ փոքր է մյուսից։ Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 45։ Գտեք այդ թվերը։
{x = 3y
{2y + y= 45
(27 ; 9)