Рубрика: Հանրահաշիվ

Համակարգը լուծելու երկրորդ եղանակ․ Գործակիցները հավասերացման կամ գումարման եղանակ։

Առաջադրանքներ։
Լուծիր համակարգը գործակիցները հավասարեցման եղանակով։
1.
{ 4x+10y=22|3
{3x+7y=10|4
{12x+30y=66
{12x+28y=40
{12x+30y-12y-28y=26
2y=26
y=13
4x+130=22
4x=22-130
4x=-108
x=-27
(13;-27)


2.
{6x-2y=6|5
{5x-y=7|6
{30x-10y=30
{30x-6y=42
30x-10y-30x+6y=-12
-4y=-12
y=3
5x-3=7
5x=10
x=2
(2;3)



3.
{2x+5y=15|2    
{3x+2y=6|5
{4x+10y=30
{15x+10y=30
4x+10y-15x-10y=0
-11x=0
x=0
0+2y=6
2y=6
y=3
(0;3)

4.
{2x+4y=6|1
{3x-2y=25|2
{2x+4y=6
{6x-4y=50
2x+4y-6x-4y=-44
4x=-44
x=11
22+4y=6
4y=-16
y=-4
(11;-4)

5.
{x+2y=3
{2x-3y=-8

Լուծիր խնդիրները։
6.Գինեգործը իր ունեցած 420 դույլ գինուց վաճառեց 6 անգամ ավելի շատ դույլ գինի, քան իր մոտ մնաց։ Նա որքա՞ն դրամ վաստակեց, եթե յուրաքանչյուր 5 դույլ գինին վաճառեց 2500 դրամով։
6x + x = 420դույլ գինի
7x = 420 դույլ գինի
x = 60 դույլ գինի
6x = 360 դույլ գիգնի
360 : 5 = 72 հնգյակ
72 * 2500 = 180 000 դրամ

7. Դարակում կա 100-ից ոչ շատ գիրք։ Քանի՞ գիրք կա դարակում, եթե այդ գրքերով կարող ենք պատրաստել և՛ երեքական, և՛ չորսական, և՛ հնգակական կապոցներ։
60

8. Քանի՞ ութանիշ թիվ կա, որի թվանշանների գումարը 2 է։
8

9. Կովը մի խուրձ խոտը  ուտում է 5 ժամում, ձին ուտում է 10 ժամում, իսկ էշը՝ 30 ժամում։ Մեկ խուրձ խոտը միասին քանի՞ ժամում կուտեն։
3ժ

Համակարգը լուծելու տեղադրման եղանակը։
Լուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով․
1.

{y+2x=7
{3x+y=11

y = 7 — 2x

3x + y = 11

3x + (7 — 2x) = 11

7 — 2x + 3x = 11

7 + x = 11

x = 11 — 7

x = 4

(4; -1)

2.
{2x+y-1=0
{y+5x-16=0

(5; -9)

3.
{3x-4y=100
{x-8y=0

(40; 5)

4.

{x+2y-14=0
{x+3y-7=0

(28; -7)

5.

{x-y=2
{x+y=6

(4; 2)

6.
{x+4y-2=0
{10y+x=14
(-6; 2)

7.
{3x-2y=88
{x=8y

(32; 4)

8.
{x-2y=3
{x+3y=25

(13.4; 4.4)

Խնդիրներ ֆլեշմոբից։
9. Աննա ​​ջնջելով  2312 թվից 3 թվանշանը ստացավ 212 թիվը: Քանի՞ քառանիշ թվից կարող է ջնջել մեկ թվանշան, որ արդյունքում ստացվի 212 թիվը:

39

10. Գնացքը կազմված է 11 ոչ միատեսակ վագոններից, որոնց ընդհանուր նստատեղերի քանակը 381 է։ Հայտնի է, որ յուրաքանչյուր երեք հաջորդական վագոնների նստատեղերի քանակը 99 է։ Քանի՞ նստատեղ ունի 9-րդ վագոնը։

99 + 99 + 99 = 297

381+297=15

Տեղադրման եղանակը։
Համակարգը լուծել տեղադրման  եղանակով, որում անհայտների գործակիցները զրոյից տարբեր են, անհրաժեշտ է՝
1) անհայտներից մեկը (օրինակ՝ y-ը) համակարգի հավասարումներից որևէ մեկից արտահայտել մյուս անհայտով,
2) ստացված արտահայտությունը տեղադրել համակարգի մյուս հավասարման մեջ y-ի փոխարեն,
3) լուծել ստացված մեկ x անհայտով հավասարումը,
4) տեղադրելով ստացված x արժեքը y-ի բանաձևի մեջ՝ գտնել y-ի արժեքը։
Հենց (x; y) թվազույգը կլինի համակարգի միակ լուծում։

Օրինակ, լուծենք այս համակարգը տեղադրման եղանակով․
{4x − 5y − 1 = 0
{7x − y + 6 = 0

համակարգի երկրորդ հավասարումից y-ն արտահայտենք x-ով՝
y = 7x + 6
  և առաջին հավասարման մեջ y-ի փոխարեն տեղադրենք
7x + 6՝
4x − 5 (7x + 6) − 1 = 0
Լուծելով  հավասարումը՝ գտնում ենք նրա միակ արմատը՝
x = −1։
Տեղադրելով x-ի արժեքը   հավասարության մեջ՝ գտնում ենք y-ի արժեքը։
y = 7x + 6 = 7․ (−1) + 6 = −1:
Նշանակում է  համակարգն ունի միակ լուծում՝ (−1; −1)
Պատասխան՝ (−1; −1)։

Առաջադրանքներ։
1. Տրված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով․

ա)x+y=5
y=5-x
բ)2x+y=3
y=3-2x
գ)x+y-5=11
x=11-x+5
դ)y+2=3x
y=3x-2
ե)3x+5y=8
5y=8-3x
զ)-3x+2y=7
2y=7+3x

2. Տրված հավասարումից x-ը արտահայտեք y-ով․

ա)x-y+3=0
x=0+y-3
բ)2x-3y+6=0
2x=0+3x-6
գ)13x+y-2=0
13x=0-y+2
դ)x+2y-5=0
x=0-2y+5
ե)3x+y=8
3x=8-y
զ)-2x+y=-14
-2x=-14-y

ա){x-2y=4
    {x+7y=22
x=4+2y
x=22-7y
22-7y-2y=22-9y=4`
y=2
x=8

բ){-3x+y=5
  {y+4x=26
y=5+3x
y=26-4x
5+3x+4x=5+7x=26`
x=3
y=14

գ) {x − 2y = 0
    {x + 5y = 45
x=2y
x=45-5y
2y+5y=7y=45
y=5
x=10

դ){x − 3y − 7 =0
    {x+7y=87

x=3y+7

x=87-7y

3y-7y=-4y=80

y=-2

x=21

4. Լուծիր համակարգը տեղադրման եղանակով

Հարցեր կրկնողության վերաբերյալ․
5.Լուծեք մեկ անհայտով հավասարումները․
ա)5x+3x-10=14
15 + 9 — 10 = 14
բ)-3+9y+13-5y=22
գ)(5x+3)-(2x-4)=37
(50 + 3) — (20 — 4) = 37
դ)2x+1=12
11 + 1 = 12

6. Լուծեք խնդիրները կազմելով հավասարում․
   Ջրով լցված լի դույլի զանգվածը 10կգ է։ Որքա՞ն է դատարկ դույլի զանգվածը, եթե հայտնի է, որ այն 9կգ-ով թեթև է նրա մեջ գտնվող ջրից։
   x — 10 = 9
   x = 9 + 10
   x = 19 կգ

Լուծիր համակարգը քեզ հարմար եղանակով։
1.
{ x=4|2
{ 2x+ y=18|1

{2x=4
x=2
{2x+y=18
2x+y-2x=16
y=16
(2;16)

2. Հուշու․ երկու հավասարումներն իրար գումարիր։
{2y+3x=13
{5y-3x=22

7y=35
y=5
x=0
(0;5)

3.
{x-y=5
{ 2x+4y=22

3x+3y=27
3x=27
3y=27
x=9
y=9

4.
{3x-2y=11
{4x-5y=35.

7x-7y=46
x=46/7
y=46/7
(46/7;46/7)

5. {x+2y=8
{x-y=2

2x+y=10
x=5
y=10
(5;10)

6.
{2x+y=4
{x+y=3

3x+2y=7
3x=7/3
2x=7/2
(7/3;7/2)

Լուծիր խնդիրները կազմելով  գծային երկու հավասարումների համակարգ։

7.Երկու թվերի գումարը 10 է, իսկ տարբերությունը 4: Գտեք այդ թվերը։

{x+y=10
{x-y=4  

x+y+(x-y)=10+4
x+y+x-y = 14
2x = 14

x = 7
y = 3

8.Մի թիվ վեցով մեծ է մյուսից։ Այդ թվերի գումարը 40  է։ Գտեք այդ թվերը։

x+y=40

x-y=6

x+y+(x-y)=40+6

x+y+x-y=46
2x=46
x=23
23-6=17
y=17

9. Մի թիվ 15-ով  փոքր է մյուսից։ Այդ թվերի գումարը 23  է։ Գտեք այդ թվերը։

{x-y=15

{x+y=23

2x=38; x=19

19-y=15; y=4

Կարևոր։ Նախագծային աշխատանք
Նախագծային աշխատանք (պարտադիր է բոլորի համար )
Ժամկետը՝  մինչև հոկտեմբերի 20-ը։
Լավագույն աշխատանքները կներկայացվեն  կլոր սեղանին /հոկտեմբերի 20–ին/։

Թեմաները նախատեսված են 7, 8-րդ դասարանցիների համար։
Համացանցից գտնել տեղեկություններ, ուսումնասիրել ստորև նշված թեմաներից որևէ մեկը, պատրաստել ուսումնական նյութ։
ա)
«Թվաբանական նշանների առաջացումը, պատմությունը»
«Մաթեմատիկական նշանների, սիմվոլների պատմությունը»
«Երկրաչափական տերմինների ծագումը, պատմությունը»
«Մաթեմատիկական պարադոքսներ»
«0 -ի ծագումը»
«Բազմանկյուններ»

«Բացասական թվեր, առաջացումը, պատմությունը»
«Հայտնի հայ մաթեմատիկոս, աշխատանքները»
Այլ թեմա սովորողի առաջարկով։

բ) կամ
«Մաթեմատիկա» ամսագրի սպասարկում սովորողի ցանկությամբ (նամակով տեղեկացնել դասավանդողին), կատարել․

«Թարգմանական աշխատանք, խնդիրների թարգմանություն»
«Մաթեմատիկական խաղերի պատրաստում տարբեր տարիքի սովորողների համար»։

Պարապմունք 8.

Թեմա՝ Երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգեր {

Դիտարկենք հետևյալ խնդիրը:
Խնդիր։ Հայտնի է, որ եղբոր ու քրոջ տարիքների տարբերությունը 3 է, իսկ գումարը՝ 15։ Քանի՞ տարեկան է եղբայրը և քանի՞ տարեկան՝ քույրը։

 Լուծում։

 Պետք է գտնել երկու անհայտ մեծություններ՝ եղբոր տարիքը և քրոջ տարիքը։ Ենթադրենք եղբայրը x տարեկան է, իսկ քույրը՝ y տարեկան։ Քանի որ նրանց տարիքների տարբերությունը 3 է, ապա
x − y = 3,
իսկ քանի որ եղբոր և քրոջ տարիքների գումարը 15 է, ապա
x + y = 15  (2)

 Որոնելի x և y թվերը պետք է բավարարեն միաժամանակ երկու հավասարումներին։ Այսպիսի դեպքերում ասում են, որ տրված է x և y երկու անհայտով երկու հավասարումների  համակարգ՝

Այս համակարգի համար կարելի է ընտրել այսպիսի թվերի զույգ՝ x = 9, y = 6, որն էլ կհանդիսանա համակարգի լուծում։
Հետևաբար եղբայրը 9 տարեկան է, քույրը՝ 6 տարեկան։
Պատասխան՝ 9 և 6 տարեկան։
Լուծել  x և y երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարման համակարգը, նշանակում է գտնել բոլոր այն (x; y) թվազույգերը, որոնք միաժամանակ  և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների համար լուծումներն են:

Առաջադրանքներ։
1. Փորձեր կատարելով գտիր համակարգի լուծումը։

ա)  {x+y=10
      {x-y=8

{9+1=10

{9-1=8}

(9;1)

բ)  { x+y-5=0
    {x-y-1=0

{3+2-5=0}

{3-2-1=0}

(3;2)

գ)  {x+y-12=0
    {x-y-2=0

{7+5-12=0}

{7-5-2=0

(7;5)

դ)  {2x+y=22
    {y-4x=16

{2×1+20=22}

{20-4×1=16}

(1;20)

ե)  {5y+4x=14
    {y-x =1

{5×2+4×1=14}

{2-1=1}

(2;1)

2. Պարզեք՝ (−3; 1) թվազույգը համակարգի լուծո՞ւմ է.
ա) { x + y − 3 = 0
    { x − y + 4 = 0 

{-3+1-3=1}

Լուծում չէ

{-3-1+4=0}

Լուծում է

բ) {  2x − 3y − 1 = 0
    { 3x + 4y + 5 = 0

{2x(-3)-3×1-1=-10}

Լուծում չէ

{3x(-3)+4×1+5=0}

Լուծում է

3. Համակարգի յուրաքանչյուր տողով գրեք հավասարման  գործակիցները և ազատ անդամները.
ա) { 2x + 3y + 1 = 0,
      {−x + y = 0,

բ)  { 3x − 2y − 4 = 0;
      {−2x − 6 = 0; 

գ) { −3x − 2y + 7 = 0,
  {−4x − 5 = 0,

դ) { 2x + 5 = 0;
    { 2y + 4 = 0

4. Ցույց տվեք, որ (−2; 1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ.
  ա) { 2x − y + 5 = 0,
      {2x + 5y − 1 = 0,

{2x(-2)-1+5=0}

Լուծում է

{2x(-2)+5×1-1=0}

Լուծում է

  բ) {x + y − 3 = 0;
      {3x − 4 = 0

{-3+1-3=1}

Լուծում չէ

{3x(-3)-4=13}

Լուծում չէ

5. Ելնելով տված պայմանից, կազմեք երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգ.
ա) երկու թվերի գումարը 7 է,իսկ տարբերությունը՝ 2,
4,5+2․5=7
4.5-2.5=2
բ) երկու թվերի տարբերությունը 12 է, իսկ գումարը՝ 27:
7.5+19.5=27
19.5-7.5=12

6.Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից.
ա) Երկու թվերի գումարը հավասար է 10:
x+y=10
բ) 2 լ կաթը և 3 բատոն հացը միասին արժեն 990 դրամ:
2x+3y=990

7. Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից,  առաջարկեք որևէ լուծում․
ա)Երկու թվերի գումարը հավասար է 20x
բ)3 կոնֆետը և 4 թխվածքաբլիթը միասին արժեն 1800 դրամ։

8. Լրացուցիչ։
b-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում (1,4) թվազույգը bx-7y-3=0 հավասարման լուծում է։
bx1-21-3=0
0+3+21×1=24
b=24

Դասարանական

3+x+4y+10=0

10-ազատ անդամ

12x-20y-4=0

-4 ազատ անդամ

-3x-4y-6=0

-6 ազատ անդամ

Ընդանուր տեսքը

ax+by+c=0

x+y-10=0
3+7=10

x=3
y=7

(3;7)

1. Քանի՞ լուծում ունի x-y+1=0 հավասարումը։

2. Նշեք 5x-2y=0 հավասարման x-ի, y-ի գործակիցները։
x=5
y=-2
3. Ունենք аx+by+c=0 հավասարումը, որի ձախ մասը x, y-ի նկատմամբ բազմանդամ է․
ա) նշիր անհայտները-x,y
բ)  անհայտների գործակիցները-a,b
գ) ազատ անդամը-c

4. Կազմիր երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում, այնպես որ անհայտների գործակիցները լինեն կենտ թվեր, իսկ ազատ անդամը լինի զույգ թիվ։

3x+7y=10
5. Հավասարումն արդյո՞ք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում է։
ա)2x+15y+4=0
ոչ
բ)0x+0y=5
ոչ
գ)13x^2-25y^2=0
ոչ
դ)14x+28y+3=0

6. Տրված а,b,c թվերով կազմեք առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարումներ.
ա) a=2, b=3 c=4
2x+3y+4=0

բ) a=21, b=13, c=-2
21x+13y-2=0

գ) a=¼, b=-⅔ , c=-5
¼x-⅔-5=0
դ) a=-1, b=-1, c=-1
-1x-1y-1=0

)-2x=12

x=12:(-2)=-6

17)-6x=-18

x=-18:(-6)=3

18)5x+3=28

5x=28-3=25

x=25:5=5

19)7y+5=26

7y=26-5=21

y=21:7=3

20)9z-5=31

9z=31+5=36

z=36:9=4

21)3a-2=-17

3a=-17+2=-15

a=-15:3=-5

22)4b+3=-13

4b=-13-3=-16

b=-16:4=-4

23)34-3x=-20

3x=34+20=54

x=54:3=18

24)7x-8=41

7x=41+8=49

x=49:7=7

1.Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի․

(x−30)² =x²-60x+900

(2a+b)² =4a²+4ab+b²

(m²n+nm²)² =(2m²n)²=4m⁴n²

9-25x² =(3-5x)(3+5x)

64y⁴-121 =(8y²-11)(8y²+11)

 x³ — 8=(x-2)(x²+2x+4)

m³ + 64=(m+4)(m²-4m+16)

27 — 8x³=(3-2x)(9+6x+4x²)

2.Հավասարության մեջ ի՞նչ թիվ պետք է լինի բազմակետերի փոխարեն.

(7y−5)(7y+5)= 49y²−25

(6x−5)(6x+5)=36x²−25

3.Ընտրիր պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

Աստիճան բարձրացնելիս՝ (b+3)² ստացվում է՝

• b²+6b+9✓
• 9+3+b+b²
• 9+b²
• b²−6b+9

4.Պարզեցրեք արտահայտությունը․

ա) (a + 1)² — 2(a + 1) + 1 =a²+2a+1-2a-2+1=a²

բ) (m — n)² + 2n(m — n) + n² =m²-2mn+n²+2nm-2n²+n²=m²

գ) (p — q)² — 2(p² — q²) + (p + q)²=p²-2pq+q²-2p²+2q²+p²+2pq+q²=4q²

դ) (x + 2y)² + 2(x² — 4y²) + (2y — x)² =x²+4xy+4y²+2x²-8y²+4y²-4yx+x²=2x²+2x²=4x²

5.Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների․

4a² + 4a + 1 =(2a+1)(2a+1)

9m² — 6m + 1 =(3m-1)(3m-1)

a² — 2a + 1 =(a-1)(a-1)

-6a +a² + 9 =(a-3)(a-3)

x⁴ + 2x²y + y² =(x²+y)(x²+y)

(m-n)³=m³-3m²n+3mn²-n³

(p-3)³=p³-9p²+27p-27

(a-2)³=a³-6a²+12a-8

(m-4)³=m³-12m²+48m-64

ա) (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³

բ) (x+1)³=x³+3x²+3x+1

գ) (x+2)³=x³+6x²+12x+8

դ) (3+y)³=27+27y+9y²+y³

1)25 — x^2 = — 1 (x — 5) (x + 5)

2)c^2 — 36 = (c — 6) (c + 6)

3)a^2 — 1 = (a — 1) (a + 1)

4) 1 — m^2 = (1 — m) (1 + m)

5) 4x^2 — 9 = (2x — 3) (2x + 3)

6) m^2 — 4n^2 = (m — 2n) (m + 2n)

7) 36p^2 — 25 = (6p — 5) (6p + 5)

8) 1- 81x^2 = (1 — 9x) (1 + 9x)

9) (1/2 a — b) (1/2 a + b)

10) 1/36 (2x — 3y) (2x + 3y)

11) a^2 b^2 — 4 = (ab — 2) (ab + 2)

12) x^2 y^2 — 9 = (xy — 3) (xy + 3)

13) 16 — m^2 n^2 = (4 — mn) (4 + mn)

14) 49 — p^2 q^2 = (7 — pq) (7 + pq)

15)4/9x^2 — 16/25y^2 = 4/225 (5x — 6) (5x + 6)

16) 9/4x^2 — 1/100 = 1/100 (15x — 1) (15x + 5)

17) 1 — 0,01a^2 = 1/100 (10 — a) (10 + a)

18) 4p^4 — 9 = (2p^2 — 3) (2p^2 + 3)

19)9/4x^2 — 1/100 = 1/100 (15x — 1) (15x +1)

20)81a^4b^4 — 1 = (3ab — 1) (3ab + 1) (9a^2 b^2 + 1)

21)x^4 y^6 z^2 = (x^2y^3 — z) (x^2y^3 + z)

22)100a^4 — 81b^6 = (10a^2-9b^3) (10a^2 + 9b^3)

23) a^6 — 4 = (a^3 — 2) (a^3 + 2)

24) a^4 — b^4 = (a — b) (a + b) (a^2 + b^2)

25) x^4 — 16 = (x — 2) (x +2) (x^2 + 4)

26) c^4 — 1 = (c — 1) (c + 1) (c^2 + 1)

27) 1 — 16a^4 = (1 — 2a) (1 + 2a) (1 + 4a^2)

28) 49 — b^10 = (7 — b^5) (7 + b^5)

29) 9y^4 — 0,04z^6 = (3y^2 — 1/5z^3) (3y^2 + 1/5z^3)

30) 2 2/49 x^3 — y^2/9 = 100/49x^3 — y^2/9